HP Calculadora Gráfica HP 49g - Manual (Página 186)

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La regla para la substracción será tal que si j – k < 0, entonces j-k se define
como j-k+n. Por lo tanto, 8-10
≡ 2 (mod 12), se interpreta como “ocho menos
diez es congruentes a dos, módulo doce.” Otros ejemplos de la substracción
en aritmética del módulo 12 serían 10-5
≡ 5 (mod 12); 6-9 ≡ 9 (mod 12); 5
– 8 ≡ 9 (mod 12); 5 –10 ≡ 7 (mod 12); etcétera.
La multiplicación sigue la regla que si j
⋅k > n, de modo que j⋅k = m⋅n + r,
donde m y r son enteros no negativos, ambos menos que n, entonces j ⋅k ≡ r
(mod n). El resultado de multiplicar j por k en aritmética modular de módulo
es, esencialmente, el residuo entero de j
⋅k/n en aritmética infinita, si j⋅k>n.
Por ejemplo, en aritmética del módulo 12 tenemos 7 ⋅3 = 21 = 12 + 9, (o,
7 ⋅3/12 = 21/12 = 1 + 9/12, es decir, el residuo entero de 21/12 es 9).
Podemos ahora escribir 7 ⋅3 ≡ 9 (mod 12), e interpretar este resultado como
“siete por tres es congruentes a nueve, módulo doce.”
La operación de la división se puede definir en términos de la multiplicación
como sigue, r/k
≡ j (mod n), si, j⋅k ≡ r (mod n). Esto significa que r debe ser
el residuo de j ⋅k/n. Por ejemplo, 9/7 ≡ 3 (mod 12), porque 7⋅3 ≡ 9 (mod
12). Algunas divisiones no se permiten en aritmética modular. Por ejemplo,
en aritmética del módulo 12 usted no puede definir 5/6 (mod 12) porque la
tabla de la multiplicación de 6 no muestra el resultado 5 en aritmética del
módulo 12. Esta tabla de la multiplicación se demuestra abajo:
6*0 (mod 12) 0 6*6 (mod 12) 0
6*1 (mod 12) 6 6*7 (mod 12) 6
6*2 (mod 12) 0 6*8 (mod 12) 0
6*3 (mod 12) 6 6*9 (mod 12) 6
6*4 (mod 12) 0 6*10 (mod 12) 0
6*5 (mod 12) 6 6*11 (mod 12) 6
Definición formal de un anillo aritmético finito
La expresión a
≡ b (mod n) se interpreta como “a es congruente a b, modulo
n,” y es verdadero si (b-a) es un múltiplo de n. Con esta definición las
reglas de la aritmética se simplifican a las siguientes:
Si a
≡ b (mod n) y c ≡ d (mod n),