HP Calculadora Gráfica HP 49g - Manual (Página 472)

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Series de Taylor y de Maclaurin
Una función f(x) se puede expandir en una serie infinita alrededor de un
punto x=x
0
usando una serie de Taylor, es decir,
∑
∞
=
− ⋅ =
0
) (
) (
!
) (
) (
n
n
o
o
n
x x
n
x f
x f
,
en la cual f (n) (x) representa la n-sima derivada de f(x) con respecto a x, y f (0) (x)
= f(x). Si x
0
= 0, la serie se denomina una serie de Maclaurin, es decir,
∑
∞
=
⋅ =
0
) (
!
) 0 (
) (
n
n
n
x
n
f
x f
Polinomio y residuo de Taylor
En la práctica, no podemos evaluar todos los términos en una serie infinita,
en su lugar, aproximamos la serie por un polinomio de orden k, P
k
(x), y
estimamos el orden de una residuo, R
k
(x), tal que
∑ ∑
∞
+ = =
− ⋅ + − ⋅ =
1
) (
0
) (
) (
!
) (
) (
!
) (
) (
k n
n
o
o
n k
n
n
o
o
n
x x
n
x f
x x
n
x f
x f
,
es decir,
). ( ) ( ) ( x R x P x f
k k
+ =
El polinomio P
k
(x) se denomina polinomio de Taylor’s. El orden del residuo
se estima en términos de una cantidad pequeña h = x-x
0
, es decir, se evalúa
el polinomio en un valor de x muy cercano a x
0
. El residuo se define por
1
) 1 (
!
) (
) ( +
+
⋅ = k
k
k
h
k
f
x R
ξ
,
en la cual ξ es un número cercano a x = x
0
. Dado que ξ es desconocido en
la mayoría de los casos, en vez de proveer un estimado del residuo, se
provee un estimado del orden de magnitud del residuo en términos de h, es
decir, se dice que R
k
(x) representa un orden de h n+1 , ó R ≈ O(h k+1 ). Si h es una
cantidad pequeña, digamos, h<<1, entonces h k+1 es típicamente mucho más
pequeño, es decir, h k+1 <<h k << …<< h << 1. Por lo tanto, para x cercano a