HP Calculadora Gráfica HP 49g - Manual (Página 619)

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Intervalos de confianza para la varianza
Para desarrollar un fórmula para el intervalo de confianza para la varianza,
primero introducimos la distribución del muestreo de la variación: Considerar
una muestra aleatoria X
1
, X
2
..., X
n
de variables normales independientes con
media µ, varianza σ 2 , y media de la muestra X. La estadística
∑
=
− ⋅
−
=
n
i
i
X X
n
S
1
2 2 , ) (
1
1
ˆ
es un estimador imparcial de la varianza σ 2 .
La cantidad
∑
=
− = ⋅ −
n
i
i
X X
S
n
1
2
2
2
, ) (
ˆ
) 1 (
σ
tiene una distribución χ
n-1
2 (chi-
cuadrada) con ν = n-1 grados de libertad. El intervalo de confianza bilateral
(1- α)⋅100 % se calcula a partir de
Pr[ χ 2
n-1,1- α /2
< (n-1) ⋅S 2 / σ 2 < χ 2
n-1, α /2
] = 1- α.
El intervalo de la confianza para la varianza de la población
σ 2 es, por lo
tanto,
[(n-1) ⋅S 2 / χ 2
n-1, α /2
; (n-1) ⋅S 2 / χ 2
n-1,1- α /2
].
en el cual
χ 2
n-1, α /2
, y χ 2
n-1,1- α /2
son los valores de una variable χ 2 , con ν = n-1
grados de libertad, excedidos con probabilidades α/2 y 1- α/2,
respectivamente.
El límite de confianza superior unilateral para
σ 2 se define como
(n-1) ⋅S 2 / χ 2
n-1,1- α
.
Ejemplo 1 – Determine el intervalo de confianza 95% para la varianza de la
población
σ 2 basado en una muestra del tamaño n = 25 la cual muestra una
varianza s 2 = 12.5.
En el capítulo 17 utilizamos una solución numérica para resolver la ecuación
α = UTPC(γ,x). En este programa, γ representa los grados de libertad (n-1), y
α representa la probabilidad de exceder cierto valor de x (χ
2 ), es decir,
Pr[ χ 2 > χ
α
2 ] = α.