HP Calculadora Gráfica HP 49g - Manual (Página 491)

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Φ(x,y,z), dado el campo vectorial, F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k.
Por ejemplo, dado el campo vectorial, F(x,y,z) = -(yi+zj+xk), la función
VPOTENTIAL produce el resultado siguiente:
es decir,
Φ(x,y,z) = -x 2 /2j + (-y 2 /2+zx)k.
Debe ser indicado que hay más de un potencial vectorial
Φ posible para un
campo vectorial dado F. Por ejemplo, la siguiente pantalla muestra que el
rotacional de la función vectorial
Φ
1
= [X 2 +Y 2 +Z 2 ,XYZ,X+Y+Z] es el vector F =
∇× Φ
2
= [1-XY,2Z-1,ZY-2Y]. La aplicación de la función VPOTENTIAL
produce la función potencial vectorial Φ
2
= [0, ZYX-2YX, Y-(2ZX-X)], la cual es
diferente de Φ
1
. La última instrucción en la pantalla muestra que F = ∇× Φ
2
.
Así pues, una función potencial vectorial no se determina únicamente para
este caso.
Las componentes de una función vectorial, F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j
+h(x,y,z)k, y las de la función potencial vectorial,
Φ(x,y,z) =
φ(x,y,z)i+ψ(x,y,z)j+η(x,y,z)k, se relacionan de la siguiente manera:
f = ∂η/∂y - ∂ψ/∂x, g = ∂φ/∂z - ∂η/∂x, h = ∂ψ/∂x - ∂φ/∂y.
Una condición para que exista la función
Φ(x,y,z) es que div F = ∇•F = 0, es
decir, ∂f/∂x + ∂g/∂y + ∂f/∂z = 0. Por lo tanto, si esta condición no se
satisface, la función potencial vectorial Φ(x,y,z) no existe. Por ejemplo,
dada la función vectorial F = [X+Y,X-Y,Z^2], la función VPOTENTIAL produce
un mensaje de error, dado que F no satisface la condición
∇•F = 0: